Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長是16，點E在邊AB上，AE=3，動點F在邊BC上，且不與點B、C重合，將△EBF沿EF折疊，得到△EB′F．

（1）當∠BEF=45°時，求證：CF=AE；
（2）當B′D=B′C時，求BF的長；
（3）求△CB′F周長的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1中，

當∠BEF=45°時，易知四邊形BEB′F是正方形，

∴BF=BE，

∵AB=BC，

∴CF=AE=3．

（2）

解：如圖2中，作B′N⊥BC于N，NB′的延長線交AD于M，作EG⊥MN于G，則四邊形MNCD、四邊形AEGM都是矩形．

∵B′D=B′C，

∴∠B′DC=∠B′CD，

∵∠ADC=∠BCD=90°，

∴∠B′DM=∠B′CN，

∵∠B′MD=∠B′NC=90°，

∴△B′MD≌△B′CN，

∴B′M=B′N=8，

∵AE=MG=3，

∴GB′=5，

在Rt△EGB′中，EG= = =12，

∵∠EB′G+∠FB′N=90°，∠FB′N+∠B′FN=90°，

∴∠EB′G=∠B′FN，∵∠EGB′=∠FNB′=90°，

∴△EGB′∽△B′NF，

∴ = ，

∴ = ，

∴BF=B′F= ．

（3）

解：如圖3中，

以E為圓心EB為半徑畫圓，在Rt△EBC中，∠EBC=90°，EB=13，BC=16，

∴EC= =5 ，

∵△CFB′的周長=CF+FB′+CB′=BF+CF+CB′=BC+CB′=16+CB′，

∴欲求△CFB′的周長的最小值，只要求出CB′的最小值即可，

∵CB′+EB′≥EC，

∴E、B′、C共線時，CB′的值最小，CB′最小值為5 ﹣13．

∴△CFB′的周長的最小值為3+5 ．

【解析】（1）如圖1中，當∠BEF=45°時，易知四邊形BEB′F是正方形，推出BF=BE，由AB=BC，即可證明CF=AE=3．（2）如圖2中，作B′N⊥BC于N，NB′的延長線交AD于M，作EG⊥MN于G，則四邊形MNCD、四邊形AEGM都是矩形．由△B′MD≌△B′CN，推出B′M=B′N=8，由AE=MG=3，推出GB′=5，在Rt△EGB′中，EG= = =12，由△EGB′∽△B′NF，推出 = ，由此即可解決問題．（3）如圖3中，以E為圓心EB為半徑畫圓，在Rt△EBC中，∠EBC=90°，EB=13，BC=16，推出EC= =5 ，由△CFB′的周長=CF+FB′+CB′=BF+CF+CB′=BC+CB′=16+CB′，所以欲求△CFB′的周長的最小值，只要求出CB′的最小值即可，因為CB′+EB′≥EC，所以E、B′、C共線時，CB′的值最�。�
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對正方形的性質的理解，了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．