Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+4ax+4a-4（a≠0）的頂點為A.

（1）求頂點A的坐標；

（2）過點（0，5）且平行于x軸的直線l，與拋物線y=ax2+4ax+4a-4（a≠0）交于B、C兩點.

①當a=1時，求線段BC的長；

②當線段BC的長不小于8時，直接寫出a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）頂點A的坐標為（-2，-4）；（2）①線段BC的長為6；②0<a≤

【解析】試題分析：（1）利用配方法或頂點的公式進行求解即可；

（2）①將a=1，y=5代入拋物線的解析式，解方程即可得；

②設B、C兩點的坐標分別為（x1,5）、（x2，5）,則BC=|x1-x2|≥8，將y=5代入 y=ax2+4ax+4a-4得ax2+4ax+4a-9=0，由根與系數關系則有：x1+x2=-4，x1x2=，利用|x1-x2|=通過計算即可得.

試題解析：（1）解法一：∵y=ax2+4ax+4a-4=a（x+2）2-4，

∴頂點A的坐標為（-2，-4）；

解法二：∵,=-4，

∴頂點A的坐標為（-2，-4）；

（2）①當a=1時，拋物線為y=x2+4x，

令y=5，得x2+4x=5，

解得，x1=-5，x2=1，

∴線段BC的長為6；

②設B、C兩點的坐標分別為（x1,5）、（x2，5）,則BC=|x1-x2|≥8，

將y=5代入 y=ax2+4ax+4a-4得：ax2+4ax+4a-4=5，即ax2+4ax+4a-9=0，

由根與系數關系則有：x1+x2=-4，x1x2=，

∵|x1-x2|=，

∴ 8，

∴0<a≤.