Question

【題目】探究題

（1）理解證明：
如圖1，∠MAN=90°，射線AE在這個角的內部，點B，C在∠MAN的邊AM，AN上，且AB=AC，CF⊥AE于點F，BD⊥AE于點D．證明△ABD≌△CAF；
（2）類比探究：
如圖2，點B，C在∠MAN的邊AM、AN上，點E，F在∠MAN內部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求證：△ABE≌△CAF；
（3）如圖3，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．點D在邊BC上，CD=2BD，點E、F在線段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面積為15，則△ACF與△BDE的面積之和為多少？

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵CF⊥AE，BD⊥AE，

∴∠ADB=∠CFA=90°，

∵∠MAN=90°，

∴∠ABD+∠BAD=90°，又∠CAF+∠BAD=90°，

∴∠ABD=∠CAF，

在△ABD和△CAF中，

，

∴△ABD≌△CAF；

（2）

證明：∵∠1=∠2，

∴∠ABE=∠CAF，

∵∠1=∠ABE+∠EAB，∠1=∠BAC，

∴∠ABE=∠CAF，

在△ABE和△CAF中，

，

∴△ABE≌△CAF；

（3）

∵△ABC的面積為15，CD=2BD，

∴△ABD的面積為15× =5，

由類比探究得，△ABE≌△CAF，

∴△ACF與△BDE的面積之和=△ABD的面積=5

【解析】理解證明：根據AAS證明△ABD≌△CAF；
類比探究：根據AAS證明即可；
拓展應用：利用類比探究的結論、三角形的面積公式計算即可．