Question

如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．動點D在直線AM上時，以CD為一邊且在CD的下方作等邊△CDE，連接BE．
（1）填空：當點D運動到點M時，∠ACE=

 

度；
（2）當點D在線段AM上（點D不運動到點A）時，求證：△ADC≌△BEC；
（3）若AB=8，以點C為圓心，以5為半徑作⊙C與直線BE相交于點P、Q兩點，在點D運動的過程中（點D與點A重合除外），試求PQ的長．

Answer 1

分析：（1）三角形內角和是180°，等邊三角形的內角都相等，所以，其中一個內角的度數是180°÷3，結合圖形可求得∠ACB=∠DCE=60°，從而可得∠ACE的度數；
（2）根據等邊三角形的性質，利用SAS求證△ADC≌△BEC；
（3）①當點D在線段AM上（不與點A重合）時，作Rt△CBH，在直角三角形中，利用勾股定理求得；②當點D在線段AM的延長線上時，求證△ACD≌△BCE，然后求值；③當點D在線段MA的延長線上時，求證△ACD≌△BCE后求值．

解答：（1）解：120；

（2）證明：∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）

（3）解：①當點D在線段AM上（不與點A重合）時（圖1），

由（2）可知△ACD≌△BCE，
則∠CBE=∠CAD=30°，作CH⊥BE于點H，
則PQ=2HQ，連接CQ，則CQ=5．
在Rt△CBH中，∠CBH=30°，BC=AB=8，則CH=

1

2

BC=4．
在Rt△CHQ中，由勾股定理得：HQ=

CQ2-CH2

=

52-42

=3，
則PQ=2HQ=6
②當點D在線段AM的延長線上時（圖2），
∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CEB=∠CDA=30°
同理可得：PQ=6．
③當點D在線段MA的延長線上時（圖3），
∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CBE=∠CAD
∵∠CAM=30°
∴∠CBE=∠CAD=150°
∴∠CBQ=30°
同理可得：PQ=6
綜上所述，PQ的長是6．

點評：本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA無法證明三角形全等．