Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線(xiàn)，E為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD，與AC、DC分別交于點(diǎn)G、F，H為CG的中點(diǎn)，連接DE、EH、DH、FH．下列結(jié)論：①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若，則3S△EDH=13S△DHC，其中結(jié)論正確的有________（填寫(xiě)序號(hào)）.

Answer 1

【答案】① ② ③

【解析】試題解析：①∵四邊形ABCD為正方形，EF∥AD，

∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，

∴△CFG為等腰直角三角形，

∴GF=FC，

∵EG=EF-GF，DF=CD-FC，

∴EG=DF，故①正確；

②∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點(diǎn)，

∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，

在△EHF和△DHC中，

，

∴△EHF≌△DHC（SAS），

∴∠HEF=∠HDC，

∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正確；

③∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點(diǎn)，

∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，

在△EHF和△DHC中，

，

∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正確；

④錯(cuò)誤，當(dāng)，則3S△EDH=13S△DHC，

理由如下：∵，

∴AE=2BE，

∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點(diǎn)，

∴FH=GH，∠FHG=90°，

∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，

在△EGH和△DFH中，

，

∴△EGH≌△DFH（SAS），

∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，

∴△EHD為等腰直角三角形，

過(guò)H點(diǎn)作HM垂直于CD于M點(diǎn)，如圖所示：

設(shè)HM=x，則DM=5x，DH= x，CD=6x，

則S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2，

∴3S△EDH=13S△DHC，故④錯(cuò)誤．