Question

矩形ABCD，折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知折痕AE=cm,且tan∠EFC=。
(1)求證：△AFB∽△FEC；
(2)求矩形ABCD的周長。

Answer 1

(1)略 (2)36cm

（1）證明：∵∠AFE=90°，∠B=90°，∠C=90°．
∴∠BAF+∠AFB=∠AFB+∠EFC=∠EFC+∠FEC=90°．
∴∠BAF=∠EFC，∠AFB=∠FEC．
∴△AFB∽△FEC．
(2)設CE=3k，則CF=4k，由勾股定理得EF=DE=5k，
∴DC=AB=8k，
∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF=tan∠EFC=
∴BF=6k，AF=BC=AD=10k，
在Rt△AFE中由勾股定理得AE==5
解得：k=1，
故矩形ABCD的周長=2（AB+BC）=2（8k+10k）=36cm．
（1）矩形的特點是四個角均為直角，折疊的部分所包含的角也是直角，利用在直角三角形中兩銳角互余可得∠BAF=∠CFE，進而可證明△ABF∽△FCE；
（2）利用相似三角形對應邊成比例，再利用勾股定理即可得解．