Question

如圖，一拋物線經過點A、B、C，點 A（?2，0），點B（0，4），點C（4，0），該拋物線的頂點為D．

（1）求該拋物線的解析式及頂點D坐標；
（2）如圖，若P為線段CD上的一個動點，過點P作PM⊥x軸于點M，求四邊形PMAB的面積的最大值和此時點P的坐標；
（3）過拋物線頂點D，作DE⊥x軸于E點，F（m，0）是x軸上一動點，若以BF為直徑的圓與線段DE有公共點，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）y=-（x+2）（x-4）；D（1，）；（2）面積最大為，P（，1）；
（3）m≥?3，m≤，?3≤m≤

試題分析：（1）由題意設兩點式，再把B（0，4）代入即可求得拋物線的解析式，從而求得頂點D的坐標；
（2）先求出直線CD的函數關系式，再根據三角形、梯形的面積公式表示出四邊形PMAB的面積的函數關系式，最后根據二次函數的性質求解即可；
（3）根據直線與圓的位置關系分類討論即可.
（1）由題意設
∵圖象過點B（0，4）
∴，解得
∴該拋物線的解析式為
∴頂點D的坐標為（1，）；
（2）設直線CD的函數關系式為
∵圖象過點C（4，0），D（1，）
∴，解得
∴直線CD的函數關系式為
則可設點P的坐標為（m，），由題意得
四邊形PMAB的面積
當時，四邊形PMAB的面積最大，最大面積為，
此時，即點P的坐標為（，1）；
（3）m≥?3，m≤，?3≤m≤
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．