Question

在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．延長CB交x軸于點A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延長C₁B₁交x軸于點A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁…按這樣的規律進行下去，第2011個正方形的面積為

 

．

Answer 1

分析：先利用ASA證明△AOD和△A₁BA相似，根據相似三角形對應邊成比例可以得到AB=2A₁B，所以正方形A₁B₁C₁C的邊長等于正方形ABCD邊長的

3

2

，以此類推，后一個正方形的邊長是前一個正方形的邊長的

3

2

，然后即可求出第2011個正方形的邊長與第1個正方形的邊長的關系，從而求出第2011個正方形的面積．

解答：解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，
∴∠ABA₁=90°，∠DAO+∠BAA₁=180°-90°=90°，
又∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
在△AOD和A₁BA中，

∠AOD=∠ABA1=90° ∠ADO=∠BAA1

，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴

OD

AO

=

AB

A1B

=2，
∴BC=2A₁B，
∴A₁C=

3

2

BC，
以此類推A₂C₁=

3

2

A₁C，
A₃C₂=

3

2

A₂C₁，
即后一個正方形的邊長是前一個正方形的邊長的

3

2

倍，
∴第2011個正方形的邊長為（

3

2

）²⁰¹⁰BC，
∵A的坐標為（1，0），D點坐標為（0，2），
∴BC=AD=

12+22

=

5

，
∴第2011個正方形的面積為[（

3

2

）²⁰¹⁰BC]²=5（

3

2

）⁴⁰²⁰．
故答案為：5（

3

2

）⁴⁰²⁰．

點評：本題主要考查了相似三角形的性質與正方形的性質，根據規律推出第2011個正方形的邊長與第1個正方形的邊長的關系是解題的關鍵，也是難點，本題綜合性較強．