Question

閱讀理解：對于任意正實(shí)數(shù)a，b，（

a

-

b

）²≥0，∴a-2

ab

+b≥0，只有當(dāng)a=b時(shí)，等號成立．
結(jié)論：在a+b≥2

ab

（a，b均為正實(shí)數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b≥2

p

，
只有當(dāng)a=b時(shí)，a+b有最小值2

p

．
根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：
（1）若m＞0，只有當(dāng)m=

1

時(shí)，m+

1

m

有最小值

2

；
（2）探索應(yīng)用：已知A（-3，0），B（0，-4），點(diǎn)P為雙曲線y=

12

x

(x＞0)上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，PD⊥y軸于D．求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時(shí)四邊形ABCD的形狀．

Answer 1

分析：（1）由m+

1

m

≥2

m• 1 m

=2，當(dāng)且僅當(dāng)m=

1

m

時(shí)，取等號，即可求得此時(shí)m的值且m+

1

m

的最小值；
（2）首先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，

12

x

），由已知即可得S_{四邊形ABCD}=S_△OAD+S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD=

18

x

+2x+12，根據(jù)已知即可求得四邊形ABCD面積的最小值，即此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，繼而可求得此時(shí)四邊形ABCD的形狀．

解答：解：（1）∵m+

1

m

≥2

m• 1 m

=2，當(dāng)且僅當(dāng)m=

1

m

時(shí)，取等號，
又∵m＞0，
∴只有當(dāng)m=1時(shí)，m+

1

m

有最小值為2；
故答案為：1，2；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，

12

x

），
∴OD=

12

x

，OC=x，
∵A（-3，0），B（0，-4），
∴OA=3，OB=4，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△OAD+S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD=

1

2

OA•OD+

1

2

OA•OB+

1

2

OB•OC+

1

2

OD•OC=

1

2

×3×

12

x

+

1

2

×3×4+

1

2

×4×x+

1

2

×x×

12

x

=

18

x

+2x+12≥2

18 x ×2x

+12=24，
當(dāng)且僅當(dāng)

18

x

=2x時(shí)，取等號，
∵x＞0，
∴當(dāng)x=3時(shí)，四邊形ABCD面積的最小值為24；
∴OD=4，OC=3，
∴OD=OB=4，OA=OC=3，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形．
∴當(dāng)x=3時(shí)，四邊形ABCD面積的最小值為24，且此時(shí)四邊形ABCD是菱形．

點(diǎn)評：此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、幾何不等式的應(yīng)用以及菱形的判定等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意理解題意，掌握幾何不等式的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合、函數(shù)思想與方程思想的應(yīng)用．