Question

設拋物線y=ax²+bx-2與x軸交于兩個不同的點A（-1，0）、B（m，0），與y軸交于點C，且∠ACB=90°。
（1）求m的值和拋物線的解析式；
（2）已知點D（1，n ）在拋物線上，過點A的直線y=x+1交拋物線于另一點E，若點P在x軸上，以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，△BDP的外接圓半徑等于_____________。

Answer 1

解：（1）令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2），
∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA·OB=OC²，
∴OB=，
∴m=4，
將A（-1，0），B（4，0）代入y=ax²+bx-2，得，
∴拋物線的解析式為；
（2）D（1，n）代入y=，得n=-3，
由，得
∴E（6，7）過E作EH⊥x軸于H，則H（6，0）
∴AH=EH=7
∴∠EAH=45°
過D作DF⊥x軸于F，則F（1，0）
∴BF=DF=3
∴∠DBF=45°
∴∠EAH=∠DBF=45°
∴∠DBH=135°，90°＜∠EBA＜135°
則點P只能在點B的左側，有以下兩種情況：
①若△DBP₁∽△EAB，
則
∴BP₁=
∴OP₁=，
∴P₁（，0）
②若△DBP₂∽△BAE，
則
∴BP₂=
∴OP₂= 
∴
綜合①、②，得點P的坐標為：或；
（3）或。