Question

【題目】如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動點（不與B、C兩點重合），將△ABP沿直線AP翻折，點B落在點E處；在CD上取一點M，使得將△CMP沿直線MP翻折后，點C落在直線PE上的點F處，直線PE交CD于點N，連接AM、AN．

（1）若P為BC的中點，則sin∠CPM=________；

（2）求證：∠PAN的度數(shù)不變；

（3）當P在BC邊上運動時，△ADM的面積是否存在最小值，若存在，請求出PB的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在最小值，BP＝2.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理求出AP，根據(jù)正弦的定義得到sin∠BAP＝，根據(jù)折疊的性質(zhì)證明∠CPM＝∠BAP，得到答案；

（2）證明Rt△AEN≌Rt△ADN，得到∠EAN＝∠DAN，計算即可；

（3）設PB＝x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出DM，根據(jù)三角形的面積公式得到二次函數(shù)的解析式，然后將解析式轉(zhuǎn)化為頂點式，即可得出答案．

試題解析：

解：（1）∵正方形ABCD的邊長為4，P為BC的中點，

∴BP＝ PC＝2，

∴AP＝＝2，

∴sin∠BAP＝，

由折疊的性質(zhì)可知，∠BPA＝∠EPA，∠CPM＝∠FPM，

∴∠APM＝（∠BPE＋∠CPF）＝90°，

∴∠BPA＋∠CPM＝90°，又∠BPA＋∠BAP＝90°，

∴∠CPM＝∠BAP，

∴sin∠CPM＝sin∠BAP＝，

故答案為： ；

（2）解：由折疊的性質(zhì)可知，∠AEP＝∠B＝90°，AE＝AB，∠BAP＝∠EAP，

∴AE＝AD，

在Rt△AEN和Rt△ADN中，

AE＝AD，AN＝AN，

∴Rt△AEN≌Rt△ADN，

∴∠EAN＝∠DAN，

∴∠PAN＝∠BAD＝45°；

（3）解：設PB＝x，則PC＝4﹣x，

∵∠CPM＝∠BAP，∠ABP＝∠PCM＝90°，

∴△ABP∽△PCM，

∴，即，

解得，CM＝﹣x2＋x，

∴DM＝4﹣（﹣x2＋x）＝ x2﹣x＋4，

∴△ADM的面積＝×4×（x2﹣x＋4）＝（x﹣2）2＋6，

∴當BP＝2時，△ADM的面積存在最小值6．