Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，BE、DF分別是平行四邊形的兩個外角的平分線，∠EAF＝∠BAD，邊AE、AF分別交兩條角平分線于點E、F．

（1）求證：△ABE∽△FDA；

（2）聯結BD、EF，如果DF2＝ADAB，求證：BD＝EF．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據角平分線的定義得到∠HDF＝∠HDC．根據平行四邊形的性質得到AB∥CD．求得∠BAD＝∠CDH．等量代換得到∠BAE＝∠F，同理∠DAF＝∠E，于是得到結論；

（2）作AP平分∠DAB交CD于點P，由角平分線的定義得到∠DAP＝∠BAD，求得∠HDF＝∠DAP，推出DF∥AP，同理BE∥AP，根據相似三角形的性質得到BE＝DF，根據平行四邊形的性質即可得到結論．

解：（1）∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD，

∵DF平分∠HDC，

∴∠HDF＝∠HDC，

又∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠BAD＝∠CDH，

∴∠HDF＝∠EAF，

∴∠HDF＝∠DAF+∠BAE，

又∵∠HDF＝∠DAF+∠F，

∴∠BAE＝∠F，

同理：∠DAF＝∠E，

∴△ABE∽△FDA；

（2）作AP平分∠DAB交CD于點P，

∴∠DAP＝∠BAD，

∵∠HDF＝∠CDH，且∠BAD＝∠CDH

∴∠HDF＝∠DAP，

∴DF∥AP，

同理：BE∥AP，

∴DF∥BE，

∵△ABE∽△FDA，

∴，

即BEDF＝ADAB，

又∵DF2＝ADAB，

∴BE＝DF，

∴四邊形DFEB是平行四邊形，

∴BD＝EF．