Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分線，BE平分∠ABC交AD于點E，點O在AB上，以OB為半徑的⊙O經過點E，交AB于點F．

（1）求證：AD是⊙O的切線；

（2）若AC=4，∠C=30°，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連接OE，利用角平分線的定義和圓的性質可得∠OBE=∠OEB=∠EBD，可證明OE∥BD，結合等腰三角形的性質可得AD⊥BD，可證得OE⊥AD，可證得AD為切線；

（2）利用（1）的結論，結合條件可求得∠AOE=30°，由AC的長可求得圓的半徑，利用弧長公式可求得．

試題解析：（1）證明：如圖，連接OE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠EBD，∴∠OEB=∠EBD，∴OE∥BD，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠OEA=∠BDA=90°，∴AD是⊙O的切線；

（2）解：∵AB=AC=4，∴OB=OE=OF=2，由（1）可知OE∥BC，且AB=AC，∴∠AOE=∠ABC=∠C=30°，∴==．