Question

【題目】（本題10分）如圖，已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為A，二次函數(shù)的圖象與軸交于原點(diǎn)O及另一點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)B在函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸上．

(1) 求點(diǎn)A與點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2) 當(dāng)四邊形AOBC為菱形時(shí)，求函數(shù)的關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）A的坐標(biāo)為（1，﹣2），C的坐標(biāo)為（2，0）．

（2）二次函數(shù)y=ax2+bx的關(guān)系式為y=﹣2x2+4x．

【解析】試題分析：（1）二次函數(shù)y=ax2+bx的頂點(diǎn)在已知二次函數(shù)拋物線的對(duì)稱軸上，可知兩個(gè)函數(shù)對(duì)稱軸相等，因此先根據(jù)已知函數(shù)求出對(duì)稱軸．根據(jù)函數(shù)解析式得出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)與對(duì)稱軸，故可得出二次函數(shù)y=ax2+bx關(guān)于x=1對(duì)稱，且函數(shù)與x軸的交點(diǎn)分別是原點(diǎn)和C點(diǎn)，所以點(diǎn)C和點(diǎn)O關(guān)于直線l對(duì)稱，故可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）因?yàn)樗倪呅?/span>AOBC是菱形，根據(jù)菱形性質(zhì)，可以得出點(diǎn)O和點(diǎn)C關(guān)于直線AB對(duì)稱，點(diǎn)B和點(diǎn)A關(guān)于直線OC對(duì)稱，因此，可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（1，2），C（2，0），將B，C代入解析式得出ab的值，進(jìn)而得出其解析式．

試題解析：（1）∵y=x2-2x-1=（x-1）2-2，

∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，-2）．

∵二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象與x軸交于原點(diǎn)O及另一點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)B在函數(shù)y=x2-2x-1的圖象的對(duì)稱軸上．

∴二次函數(shù)y=ax2+bx的對(duì)稱軸為：直線x=1，

∴點(diǎn)C和點(diǎn)O關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）．

（2）因?yàn)樗倪呅?/span>AOBC是菱形，所以點(diǎn)B和點(diǎn)A關(guān)于直線OC對(duì)稱，

因此，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2）．

因?yàn)槎�次函�?shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（1，2），C（2，0），

所以

解得，

所以二次函數(shù)y=ax2+bx的關(guān)系式為y=-2x2+4x．