Question

【題目】如圖1，點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點（端點除外），點P從頂點A、點Q從頂點B同時出發，且它們的運動速度相同，連接AQ、CP交于點M．

（1）求證：△ABQ≌△CAP；

（2）如圖1，當點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，∠QMC變化嗎？若變化，請說理由；若不變，求出它的度數．

（3）如圖2，若點P、Q在分別運動到點B和點C后，繼續在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠QMC= 度．（直接填寫度數）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）不變，60°；（3）120°．

【解析】

試題分析：（1）根據等邊三角形的性質，利用SAS證明△ABQ≌△CAP；

（2）由△ABQ≌△CAP根據全等三角形的性質可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=60°；

（3）由△ABQ≌△CAP根據全等三角形的性質可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=120°．

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形

∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，

又∵點P、Q運動速度相同，

∴AP=BQ，

在△ABQ與△CAP中，

，

∴△ABQ≌△CAP（SAS）；

（2）解：點P、Q在運動的過程中，∠QMC不變．

理由：∵△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ=∠ACP，

∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，

∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°；

（3）解：∵△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ=∠ACP，

∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，

∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°．

故答案為：120°．