Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，給出如下定義：若點P在圖形M上，點Q在圖形N上，稱線段PQ長度的最小值為圖形M，N的密距，記為d（M，N）．特別地，若圖形M，N有公共點，規定d（M，N）=0．

（1）如圖1，⊙O的半徑為2，

①點A（0，1），B（4，3），則d（A，⊙O）= ，d（B，⊙O）= ．

②已知直線L：y=與⊙O的密距d（L，⊙O）=，求b的值．

（2）如圖2，C為x軸正半軸上一點，⊙C的半徑為1，直線y=﹣與x軸交于點D，與y軸交于點E，直線DE與⊙C的密距d（DE，⊙C）．請直接寫出圓心C的橫坐標m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）d（A，⊙O）= 1 ，d（B，⊙O）= 3 ；（2）b=；（3）.

【解析】

（1）①連接OB,只需求出OA、OB即可解答；②用面積法求出OK長,再根據題意建立關于b的方程即可解決問題；（2）根據題意，確定C點在x軸上的范圍，根據求出界點值來確定m的范圍.

（1）①如圖，連接OB，過B點作BH⊥x軸，垂足為H,

∵⊙O的半徑為2，點A（0，1），

∴d（A， ⊙O）=2-1=1；

∵B(4，3)，∴OB=5，

∴d（B，⊙O）=5-2=3.

②如圖，設直線與x軸,y軸交P、Q兩點，過O作OK⊥PQ,垂足為K,

∴P（ ，0）、Q（0，b），

∴OP= ，OQ=，

由勾股定理得，PQ=，,

∵ ，

∴，

∴OK=，

∵d（L，⊙O）=，

∴-2= ，

∴b=±4.

（2）如圖，作CR⊥ED于點R，CS⊥ED于點S，

令CR=CS= ，則點C位于C和C之間（包括C和C ），

∵E（0， ），D（4，0），

∴OE=，OD=4，由勾股定理得，ED=，

∵sin∠CDR=，

∴ ，

∴OC=1，∴OC=7，

∴ .