Question

【題目】(2016湖北襄陽第25題)

如圖，已知點A的坐標為(-2，0)，直線y=-+3與x軸，y軸分別交于點B和點C,連接AC，頂點為D的拋物線y=ax2+bx+c過A，B，C三點．

(1)請直接寫出B，C兩點的坐標，拋物線的解析式及頂點D的坐標；

(2)設拋物線的對稱軸DE交線段BC于點E，P為第一象限內拋物線上一點，過點P作x軸的垂線，交線段BC于點F若四邊形DEFP為平行四邊形,求點P的坐標；

(3)設點M是線段BC上的一動點，過點M作MN∥AB，交AC于點N點.Q從點B出發，以每秒l個單位長度的速度沿線段BA向點A運動，運動時間為t(秒)．當t(秒)為何值時，存在QMN為等腰直角三角形?

Answer 1

【答案】（1）(1)B(4，O)，C(0，3)，拋物線的解析式為頂點D的坐標為；（2）當點P坐標為(3，)時，四邊形DEFP為平行四邊形；（3）當t為或或時，存在△QMN為等腰直角三角形．

【解析】

試題分析：（1）由直線y=-+3的解析式即可得B，C兩點的坐標，再用待定系數法即可求得拋物線的解析式，根據拋物線的解析式即可得拋物線的解析式；（2）設點P坐標為則點F的坐標為(m，-m+3)，根據四邊形DEFP為平行四邊形，則PF=DE，由此列方程求得m的值，即可得點P的坐標；（3）分別以點M、N、Q為直角頂點討論解決即可.

試題解析：(1)B(4，O)，C(0，3)．

拋物線的解析式為

頂點D的坐標為

(2)把x=1代入

因點P為第一象限內拋物線上一點，所以可設點P坐標為

點F的坐標為(m，-m+3)．若四邊形DEFP為平行四邊形，則PF=DE

即-m2+m+3-(-m+3)=

解之，得m1=3,m2=1(不合題意，舍去)．

∴當點P坐標為(3，)時，四邊形DEFP為平行四邊形．

(3)設點M的坐標為(n，-)，MN交y軸于點G．

∽BAC

①當∠Q1MN=90°，MN=MQ2=OG時，解之，MN=2．

解之，

②當時，容易求出

③當∠MQ3N=90°，Q3M=Q3N時，NM=Q3K=OG

解之，得MN=3．

解之，得n=2，即

MN的中點K的坐標為即

∴當t為或或時，存在△QMN為等腰直角三角形．