Question

如圖①，△ABC≌△DEF，將△ABC和△DEF的頂點B與頂點E重合，把△DEF繞點B順時針方向旋轉，這時AC與DF相交于點O．

（1）當△DEF旋轉至如圖②位置，點B（E）、C、D在同一直線上時，∠AFD與∠DCA的數量關系是

∠AFD=∠DCA

．
（2）當△DEF繼續旋轉至如圖③位置時，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．
（3）在圖③中，連接BO、AD，猜想BO與AD之間有怎樣的位置關系？畫出圖形，寫出結論，無需證明．

Answer 1

分析：（1）根據全等三角形對應角相等可得∠A=∠D，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠AOD=∠A+∠AFD，∠AOD=∠D+∠DCA，然后整理即可得解；
（2）根據全等三角形對應邊相等可得AB=DE，BC=EF，根據全等三角形對應角相等可得∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF，然后推出∠ABF=∠DEC，利用邊角邊證明△ABF與△DEC全等，根據全等三角形對應角相等可得∠BAF=∠EDC，再推出∠FAC=∠CDF，然后利用三角形的外角性質列式即可得證；
（3）可以證明AO=DO，根據到線段兩端點距離的點在線段垂直平分線得到BO⊥AD．

解答：解：（1）∵△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D，
又∵∠AOD=∠A+∠AFD，∠AOD=∠D+∠DCA，
∴∠AFD=∠DCA；

（2）∠AFD=∠DCA．
理由如下：∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF，
∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠FBC，
即∠ABF=∠DEC，
在△ABF與△DEC中，

AB=DE ∠ABF=∠DEC BF=EC

，
∴△ABF≌△DEC（SAS），
∴∠BAF=∠EDC，
∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC，
即∠FAC=∠CDF，
又∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA，
∴∠AFD=∠DCA；

（3）如圖，可以證明AO=DO，
根據到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上可得直線BO是線段AD的垂直平分線，
∴BO⊥AD．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質，利用旋轉變換只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小，找出兩三角形全等的條件是解題的關鍵．