Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y＝k1x＋b的圖象與x軸交于點A（－3，0），與y軸交于點B，且與正比例函數y＝kx的圖象交點為C（3，4）．
（1）求正比例函數與一次函數的關系式；
（2）若點D在第二象限，△DAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形，請求出點D的坐標；
（3）在x軸上是否存在一點E使△BCE周長最小，若存在，求出點E的坐標
（4）在x軸上求一點P使△POC為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵一次函數y＝k1x＋b過點A（－3，0）; C（3，4）

∴ 解得：

∴一次函數關系式為y＝ x＋2

∵正比例函數y＝kx的圖象過點為C（3，4）

∴4=-3k2

∴k2= 正比例函數:y＝ x

（2）解：如圖所示，作D1M⊥X軸于M點，作D2N⊥Y軸于N，在等腰△AD1B中，

A D1=AB ; ∠D1AB=90° ∠D1DA=∠AOB=90°

∴∠D1AM+∠BAO=90° 又∵∠ABO+∠BAO=90°

∴∠D1AM =∠BAO

在△D1DA與△ OAB中

∠D1AM =∠BAO（已證）

∠D1MA=∠AOB（已證）

A D1=AB （已證）

∴△D1MA≌△OAB（AAS）

∴D1 M=OA=3;AM=BO=2 ∴OM=5

∵D1在第二象限，∴D1(-5,3)

同理證：△D2NB≌△BOA（AAS） ∴D2(-2,5)

（3）解：存在;作C關于X軸對稱點C1，連接BC1，交X軸于E，此時△BCE周長最小。

∵ ∴

∴BC1的解析式為：y=-2x+2

令y=0，得0=-2x+2, x=1

∴E點的坐標為（1，0）

（4）解：P （5，0）

P （-5，0）

P (6, 0)

P ( ,0)

【解析】（4）①當OC是腰，O是頂角的頂點時，OP=OC，則點P的坐標為（5，0）或（-5，0）；
②當OC是腰，C是頂角的頂點時，CP=CP，則點P與點O關于x=3對稱，則點P的坐標為（6，0）；
③當OC是底邊時，設點P的坐標為（a，0），則（a-3）2+42=a2，解得a=，則點P的坐標為（，0）.
綜上可知，點P的坐標（5，0）或（-5，0）或（6，0）或（，0）.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解一次函數的性質的相關知識，掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小，以及對一次函數的圖象和性質的理解，了解一次函數是直線，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單,經過原點一直線；兩個系數k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠．