Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c經過A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三點．
（1）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（2）若點M是該拋物線對稱軸上的一點，求AM+OM的最小值．

Answer 1

（1）把A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三點的坐標代入y=ax²+bx+c中，得

4a-2b+c=-4 4a+2b+c=0 c=0

解這個方程組，得a=-

1

2

，b=1，c=0
所以解析式為y=-

1

2

x²+x．

（2）由y=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

，可得
拋物線的對稱軸為直線x=1，并且對稱軸垂直平分線段OB
∴OM=BM
∴OM+AM=BM+AM
連接AB交直線x=1于M點，則此時OM+AM最小
過點A作AN⊥x軸于點N，
在Rt△ABN中，AB=

AN2+BN2

=

42+42

=4

2

，
因此OM+AM最小值為4

2

．