Question

如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)為M（2，-4），且過(guò)點(diǎn)A（-1，5），連接AM交x軸于點(diǎn)B．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是拋物線在x軸下方、頂點(diǎn)左方一段上的動(dòng)點(diǎn)，連接PO，以P為頂點(diǎn)、PO為腰的等腰三角形的另一頂點(diǎn)Q在x軸的垂線交直線AM于點(diǎn)R，連接PR，設(shè)△PQR的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）在上述動(dòng)點(diǎn)P（x，y）中，是否存在使S_△PQR=2的點(diǎn)？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵根據(jù)拋物線過(guò)M（2，-4），A（-1，5），O（0，0）三點(diǎn)，
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx（a≠0），
把M（2，-4），A（-1，5）代入得

4a+2b=-4 a-b=5

，
解得

a=1 b=-4

，
這條拋物線的解析式為y=x²-4x；

（2）設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b（k≠0），
把M（2，-4），A（-1，5）兩點(diǎn)代入得

2k+b=-4 -k+b=5

，
解得

k=-3 b=2

，
故直線AM的解析式為y=-3x+2，
令y=0，解得x=

2

3

，
故B點(diǎn)坐標(biāo)為（

2

3

，0）；

（3）設(shè)點(diǎn)P（x，y）則，Q的坐標(biāo)是（2x，0），
代入直線AM的解析式y(tǒng)=-3x+2，就可以求出R的坐標(biāo)．
得到QR的長(zhǎng)度，QR邊上的高是x，
∴S=

-3x2+x(0＜x＜ 1 3 ) 3x2-x( 1 3 ＜x＜2)

．

（4）s=2代入（3）中函數(shù)的解析式即可得
2=-3x²+x或2=3x²-x，
當(dāng)2=-3x²+x，方程的△＜0，方程無(wú)解；
當(dāng)2=3x²-x，解得：x₁=1，x₂=-

2

3

，
當(dāng)x=1時(shí)y=x²-4x=-3，即拋物線上的P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-3）時(shí)，s=2成立；
當(dāng)x=-

2

3

＜0（舍去），
∴存在動(dòng)點(diǎn)P，使S=2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-3）．