Question

【題目】“夕陽紅”養老院共有普通床位和高檔床位共500張．已知今年一月份入住普通床位老人300人，入住高檔床位老人90人，共計收費51萬元；今年二月份入住普通床位老人350人，入住高檔床位老人100人，共計收費58萬元．
（1）求普通床位和高檔床位每月收費各多少元？
（2）根據國家養老政策規定，為保障普通居民的養老權益，所有實際入住高檔床位數不得超過普通床位數的三分之一；另外為扶持養老企業發展國家民政局財政對每張入住的床位平均每年都是給予養老院企業2400元的補貼．經測算，該養老院普通床位的運營成本是每月1200元/張，入住率為90%；高檔床位的運營成本是每月2000元/張，入住率為70%．問該養老院應該怎樣安排500張床的普通床位和高檔床位數量，才能使每月的利潤最大，最大為多少元？（月利潤＝月收費－月成本+月補貼）

Answer 1

【答案】
（1）

解：設普通床位月收費為x元，高檔床位月收費為y元．

根據題意得：

解之得：.

答：普通床位月收費為800元，高檔床位月收費為3000元．

（2）

解：設：應安排普通床位a張，則高檔床位為（500－a）張．

由題意：0.7×(500－a)≤0.9×a，

解之得： a≥350

每張床位月平均補貼＝2400÷12＝200元

設月利潤總額為w，根據題意得：

w＝90%×800a+70%×3000(500－a)－90%×1200a－70%×2000(500－a)+200a×90%+200(500－a)×70% = －1020a+420000，

∵k＝－1020<0 ∴w隨著a的增大而減小

∴當a＝350時，w有最大值＝ －1020×350+420000＝63000.

答：應該安排普通床位350張、高檔床位150張，才能使每月的利潤最大，最大為63000元.

【解析】（1）此問考查二元一次方程組的應用，根據題干中“共計收費51萬元”和“共計收費58萬元”兩句的等量關系，列出方程組，解出未知數即可.
（2）此問考查一次函數最值得應用，首先求出自變量的取值范圍，然后把月利潤總額的函數表達式求出，利用一次函數的最值求解.