Question

已知：等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6厘米，長(zhǎng)為1厘米的線段MN在△ABC的邊AB上從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)B時(shí)運(yùn)動(dòng)終止），過點(diǎn)M、N分別作AB邊的垂線，與△ABC的其它邊交于P、Q兩點(diǎn)，線段MN運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒．
（1）請(qǐng)寫出線段MN從出發(fā)到終止所需要的時(shí)間t；
（2）線段MN在運(yùn)動(dòng)的過程中，x為何值時(shí)，四邊形MNQP恰為矩形？
（3）線段MN在運(yùn)動(dòng)的過程中，設(shè)四邊形MNQP的面積為S，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x．求四邊形MNQP的面積S隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間x變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6厘米，長(zhǎng)為1厘米的線段MN在△ABC的邊AB上從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可知，線段MN移動(dòng)的距離=6-1=5cm，由此即可得出t的值；
（2）過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D．當(dāng)PQ∥AB時(shí)即可得出四邊形MNQP是矩形時(shí)x的值；
（3）根據(jù)①當(dāng)0＜x＜2時(shí)；②當(dāng)2≤x≤3時(shí)；③當(dāng)3＜x＜5時(shí)，分別求出四邊形MNQP的面積，即四邊形MNQP的面積S隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間x變化的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6厘米，長(zhǎng)為1厘米的線段MN在△ABC的邊AB上從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，
∴線段MN移動(dòng)的距離=6-1=5cm，
∴t=

5

1

=5（秒）；

（2）如圖1所示：過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，
∵△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，
∴AD=3，
∵當(dāng)MN運(yùn)動(dòng)到被CD垂直平分時(shí)，四邊形MNQP是矩形，即當(dāng)AM=3-

1

2

=

5

2

時(shí)，四邊形MNQP是矩形，
∴x=

5

2

秒時(shí)，四邊形MNQP是矩形；

（3）①如圖2所示，當(dāng)0＜x≤2時(shí)，點(diǎn)P、Q都在AC上，并且四邊形PMNQ為直角梯形，
在Rt△AMP中，
∵∠A=60°，AM=x，tan∠A=

PM

AM

，
∴PM=tan60°×AM=

3

AM=

3

x，
在Rt△ANQ中，
∵AN=AM+MN=x+1，
∴QN=

3

AN=

3

（x+1），
∴S_{四邊形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

3

x+

3

（x+1）]=

3

x+

3

2

；
②如圖3所示：
當(dāng)2≤x≤3時(shí)，點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC上，
∵PM=

3

t，BN=AB-AM-MN=6-x-1=5-x，
在Rt△BNQ中，
∵QN=

3

BN=

3

（5-x），
∴S_{四邊形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

3

x+

3

（5-x）]×1=

5 3

2

；
③當(dāng)3≤x＜5時(shí)，點(diǎn)P、Q都在BC上，
∵BM=6-x，BN=5-x，
∴PM=

3

BM=

3

（6-x），QN=

3

BN=

3

（5-x），
∴S_{四邊形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

3

（6-x）+

3

（5-x）]=

11

2

3

-

3

x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似形綜合題，涉及到動(dòng)點(diǎn)問題，比較復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，由數(shù)形結(jié)合便可解答，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在解題中的重要作用．