Question

【題目】拋物線的頂點(diǎn)為（1，﹣4），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸負(fù)半軸交于C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為對稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，以BP為斜邊作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)M落在對稱軸上，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣3）或（4，5）．

【解析】

（1）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）2-4，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)可求出a值，進(jìn)而可得出拋物線的解析式；
（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF∥x軸，交拋物線對稱軸于點(diǎn)F，易證△MBE≌△PMF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出ME=PF=x-1，MF=BE=2，進(jìn)而可得出EF=x+1，結(jié)合EF為點(diǎn)P縱坐標(biāo)的絕對值，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，取其大于1的值代入點(diǎn)P的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，

將C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，

解得：a＝1，

∴拋物線的解析式為y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．

（2）當(dāng)y＝0時(shí)，有x2﹣2x﹣3＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝3，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．

設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF∥x軸，交拋物線對稱軸于點(diǎn)F，如圖所示．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣2x﹣3）（x＞1），則PF＝x﹣1，BE＝3﹣1＝2．

∵∠BME+∠PMF＝90°，∠BME+∠MBE＝90°，

∴∠MBE＝∠PMF．

在△MBE和△PMF中， ，

∴△MBE≌△PMF（AAS），

∴ME＝PF＝x﹣1，MF＝BE＝2，

∴EF＝ME+MF＝x+1．

∵EF＝|x2﹣2x﹣3|，

∴|x2﹣2x﹣3|＝x+1，即x2﹣3x﹣4＝0或x2﹣x﹣2＝0，

解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝2，x3＝4，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣3）或（4，5）．