Question

【題目】如圖，拋物線y=mx2+2mx+n經過A（﹣3，0），C（0，﹣）兩點，與x軸交于另一點B．

（1）求經過A，B，C三點的拋物線的解析式；

（2）過點C作CE∥x軸交拋物線于點E，寫出點E的坐標，并求AC、BE的交點F的坐標

（3）若拋物線的頂點為D，連結DC、DE，四邊形CDEF是否為菱形？若是，請證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x﹣；（2）F點坐標為（﹣1，﹣1）；（3）四邊形CDEF是菱形．證明見解析

【解析】

將A、C點的坐標代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組求得該拋物線的解析式；

根據（1）題所得的拋物線的解析式，可確定拋物線的對稱軸方程以及B、C點的坐標，由CE∥x軸，可知C、E關于對稱軸對稱。根據A、C點求得直線AC的解析式，根據B、E點求出直線BE的解析式，聯立方程求得的解，即為F點的坐標；

由E、C、F、D的坐標可知DF和EC互相垂直平分，則可判定四邊形CDEF為菱形．

（1）∵拋物線y=mx2+2mx+n經過A（﹣3，0），C（0，﹣）兩點，

∴，解得，

∴拋物線解析式為y=x2+x﹣；

（2）∵y=x2+x﹣，

∴拋物線對稱軸為直線x=﹣1，

∵CE∥x軸，

∴C、E關于對稱軸對稱，

∵C（0，﹣），

∴E（﹣2，﹣），

∵A、B關于對稱軸對稱，

∴B（1，0），

設直線AC、BE解析式分別為y=kx+b，y=k′x+b′，

則由題意可得，，

解得，，

∴直線AC、BE解析式分別為y=﹣x﹣，y=x﹣，

聯立兩直線解析式可得，解得，

∴F點坐標為（﹣1，﹣1）；

（3）四邊形CDEF是菱形．

證明：∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2，

∴D（﹣1，﹣2），

∵F（﹣1，﹣1），

∴DF⊥x軸，且CE∥x軸，

∴DF⊥CE，

∵C（0，﹣），且F（﹣1，﹣1），D（﹣1，﹣2），

∴DF和CE互相平分，

∴四邊形CDEF是菱形．