Question

【題目】（1）模型探究：如圖1，D、E、F分別為△ABC三邊BC、AB、AC上的點，且∠B=∠C=∠EDF=a．△BDE與△CFD相似嗎？請說明理由；

（2）模型應用：△ABC為等邊三角形，其邊長為8，E為AB邊上一點，F為射線AC上一點，將△AEF沿EF翻折，使A點落在射線CB上的點D處，且BD=2．

①如圖2，當點D在線段BC上時，求的值；

②如圖3，當點D落在線段CB的延長線上時，求△BDE與△CFD的周長之比．

Answer 1

【答案】（1）△BDE∽△CFD，理由見解析；（2）①；②

【解析】

（1）利用等式的性質判斷出∠BED=∠CDF，即可得出結論；

（2）①同（1）的方法判斷出△BDE∽△CFD，得出比例式，再設出AE=x，AF=y，進而表示出BE=8-x，CF=8-y，CD=6，代入比例式化簡即可得出結論；

②同①的方法即可得出結論．

（1）△BDE∽△CFD，

理由：∠B=∠C=∠EDF=a，

在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED=180°，

∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=180°-α，

∵∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，

∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=180°-α，

∴∠BED=∠CDF，

∵∠B=∠C，

∴△BDE∽△CFD；

（2）①設AE=x，AF=y，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=8，

由折疊知，DE=AE=x，DF=AF=y，∠EDF=∠A=60°，

在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED=180°，

∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，

∵∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，

∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，

∴∠BED=∠CDF，

∵∠B=∠C=60°，

∴△BDE∽△CFD，

∴

∵BE=AB-AE=8-x，CF=AC-AF=8-y，CD=BC-BD=6，

∴，

∴，

∴，

∴；

②設AE=x，AF=y，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=AC=8，

由折疊知，DE=AE=x，DF=AF=y，∠EDF=∠A=60°，

在△BDE中，∠ABC+∠BDE+∠BED=180°，

∴∠BDE+∠BED=180°-∠ABC=120°，

∵∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，

∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，

∴∠BED=∠CDF，

∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠DBE=∠DCF=120°，

∴△BDE∽△CFD，

∴

∵BE=AB-AE=8-x，CF=AF-AC=y-8，CD=BC+BD=10，

．

∵△BDE∽△CFD，

∴△BDE與△CFD的周長之比為．