Question

【題目】在矩形中，連結，點從點出發，以每秒1個單位的速度沿著的路徑運動，運動時間為（秒）. 過點作于點，在矩形的內部作正方形. （在的右側）

（1）如圖，當時，

①若點在的內部，連結、，求證：；

②當時，設正方形與的重疊部分面積為，求與的函數關系式；

（2）當時，若直線將矩形的面積分成兩部分，求的值.

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②；（2）或或

【解析】

（1）①如圖1中，證明△AEH≌△CGH（SAS）即可解決問題．
②分兩種情形分別求解：如圖1中，當0＜t≤4時，重疊部分是正方形EFGH．如圖2中，當4＜t≤8時，重疊部分是五邊形EFGMN．
（2）分三種情形分別求解：①如圖31中，延長AH交BC于M，當BM＝CM＝4時，直線AH將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分．②如圖32中，延長AH交CD于M交BC的延長線于K，當CM＝DM＝3時，直線AH將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分．③如圖33中，當點E在線段AC上時，延長AH交CD于M，交BC的延長線于N．當CM＝DM時，直線AH將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分．

（1）①如圖1中，

∵四邊形是正方形，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴.

②如圖1中，當時，重疊部分是正方形，.

如圖2中，當時，重疊部分是五邊形，

.

綜上所述，.

（2）如圖3-1中，延長交于，

當時，直線將矩形的面積分成兩部分.

∵，

∴，

∴，

∴.

如圖3-2 中，延長交于，交的延長線于，

當時，直線將矩形的面積分成兩部分，易證，

∵，

∴，

∴，

∴.

如圖3-3 中，當點在線段上時，延長交于，交的延長線于.

當時，直線將矩形的面積分成兩部分，易證.

在中，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

解得.

綜上所述，滿足條件的的值為或或.