Question

【題目】如圖，平面上存在點P、點M與線段AB．若線段AB上存在一點Q，使得點M在以PQ為直徑的圓上，則稱點M為點P與線段AB的共圓點．

已知點P（0，1），點A（﹣2，﹣1），點B（2，﹣1）．

（1）在點O（0，0），C（﹣2，1），D（3，0）中，可以成為點P與線段AB的共圓點的是　 　；

（2）點K為x軸上一點，若點K為點P與線段AB的共圓點，請求出點K橫坐標xK的取值范圍；

（3）已知點M（m，﹣1），若直線y＝x+3上存在點P與線段AM的共圓點，請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）C；（2）﹣1﹣≤xk≤1﹣或﹣1≤xk≤1+；（3）m≤3﹣2或m≥3+2．

【解析】

（1）由題意可知當Q與A重合時，點C在以AP為直徑的圓上，所以可以成為點P與線段AB的共圓點的是C；

（2）根據題意由兩點的距離公式可得AP=BP=2，分別畫以AP和BP為直徑的圓交x軸于4個點：K1、K2、K3、K4，結合圖形2可得4個點的坐標，從而得結論；

（3）由題意先根據直線y=x+3，當x=0和y=0計算與x軸和y軸的交點坐標，分兩種情況：M在A的左側和右側，先計算圓E與直線y=x+3相切時m的值，從而根據圖形可得結論．

解：（1）如圖1，可以成為點P與線段AB的共圓點的是C，

故答案為：C；

（2）∵P（0，1），點A（﹣2，﹣1），點B（2，﹣1）．

∴AP＝BP＝＝2，

如圖2，分別以PA、PB為直徑作圓，交x軸于點K1、K2、K3、K4，

∵OP＝OG＝1，OE∥AB，

∴PE＝AE＝，

∴OE＝AG＝1，

∴K1（﹣1﹣，0），k2（1﹣，0），k3（﹣1，0），k4（1+，0），

∵點K為點P與線段AB的共圓點，

∴﹣1﹣≤xk≤1﹣或﹣1≤xk≤1+；

（3）分兩種情況：

①如圖3，當M在點A的左側時，Q為線段AM上一動點，以PQ為直徑的圓E與直線y＝x+3相切于點F，連接EF，則EF⊥FH，

當x＝0時，y＝3，當y＝0時，y＝x+3＝0，x＝﹣6，

∴ON＝3，OH＝6，

∵tan∠EHF＝＝＝，

設EF＝a，則FH＝2a，EH＝a，

∴OE＝6﹣a，

Rt△OEP中，OP＝1，EP＝a，

由勾股定理得：EP2＝OP2+OE2，

∴，

解得：a＝（舍去）或，

∴QG＝2OE＝2（6﹣a）＝﹣3+2，

∴m≤3﹣2；

②如圖4，當M在點A的右側時，Q為線段AM上一動點，以PQ為直徑的圓E與直線y＝x+3相切于點F，連接EF，則EF⊥FH，

同理得QG＝3+2，

∴m≥3+2，

綜上，m的取值范圍是m≤3﹣2或m≥3+2．