Question

【題目】如圖，已知∠MON，點A在射線OM上．根據下列方法畫圖．

①以O為圓心，OA長為半徑畫圓，交ON于點B，交射線OM的反向延長線于點C，連接BC；

②以OA為邊，在∠MON的內部，畫∠AOP＝∠OCB；

③連接AB，交OP于點E；

④過點A作⊙O的切線，交OP于點F．

（1）依題意補全圖形；

（2）求證∠MOP＝∠PON；

（3）若∠MON＝60°，OF＝10，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）如圖所示，見解析；（2）見解析；（3）AE＝．

【解析】

（1）題干要求根據下列方法畫圖，根據題意用尺規補全圖形即可.

（2）題干要求證∠MOP＝∠PON，根據圓周角定理知道∠MON＝2∠OCB，從而進行分析證明即可.

（3）根據FA是⊙O的切線，可以知道FA⊥OA，∠MON＝60°，利用銳角三角函數可以求知OA＝OB，進而求知∠MOP＝∠PON，求出AE的長.

解：（1）如圖所示：

（2）∵∠MON＝2∠OCB，

∵∠AOP＝∠OCB，

∴∠BOP＝∠OCB＝∠AOP，

即∠MOP＝∠PON；

（3）∵∠MON＝60°，

∴∠AOP＝30°，

∵FA是⊙O的切線，

∴FA⊥OA，

∵OF＝10，

∴OA＝5，

∵OA＝OB，

∴△OAB是等邊三角形，

∵∠MOP＝∠PON，

∴OE⊥AB，

∴AE＝．