Question

（2006•河南）如圖△ABC中，∠ACB=90度，AC=2，BC=3．D是BC邊上一點，直線DE⊥BC于D，交AB于點E，CF∥AB交直線DE于F．設CD=x．
（1）當x取何值時，四邊形EACF是菱形？請說明理由；
（2）當x取何值時，四邊形EACD的面積等于2？

Answer 1

【答案】分析：（1）ED、AC同時垂直于BC，因此EF∥AC，又有CF∥AB，那么四邊形ACFE是個平行四邊形，要想使其為菱形，就必須讓CF=AC=2，然后用x表示出，CF、DF的值．在Rt△CDF中用勾股定理求出x的值即可．
（2）由于四邊形ACDE是個直角梯形，可根據其面積公式求出關于x的一元二次方程，然后求出x的值．
解答：解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
又∵DE⊥BC，
∴EF∥AC
又∵AE∥CF，
∴四邊形EACF是平行四邊形．
當CF=AC時，四邊形ACFE是菱形．
此時，CF=AC=2，BD=3-x，tanB=，
∵tanB=．
∴ED=BD•tanB=（3-x）．
∴DF=EF-ED=2-（3-x）=x．
在Rt△CDF中，由勾股定理得CD²+DF²=CF²，
∴x²+（x）²=2²，
∴x=±（負值不合題意，舍去）．
即當x=時，四邊形ACFE是菱形．

（2）由已知得，四邊形EACD是直角梯形，S_梯形EACD=DC•（DE+AC）=×（4-x）•x=-x²+2x，
依題意，得-x²+2x=2．
整理，得x²-6x+6=0．
解之，得x₁=3-，x₂=3+．
∵x=3+＞BC=3，
∴x=3+舍去．
∴當x=3-時，梯形EACD的面積等于2．
點評：本題的關鍵是如何判定四邊形EFCA是菱形，菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：①定義，②四邊相等，③對角線互相垂直平分．