Question

【題目】如圖，點A是反比例函數圖象第一象限上一點，過點A作軸于B點，以AB為直徑的圓恰好與y軸相切，交反比例函數圖象于點C，在AB的左側半圓上有一動點D，連結CD交AB于點記的面積為，的面積為，連接BC，則是______三角形，若的值最大為1，則k的值為______．

Answer 1

【答案】 等腰直角；

【解析】分析：

（1）如下圖，連接O′C，過點C作CH⊥x軸于點H，由O′和兩坐標軸相切可知O′和反比例函數的圖象都關于直線y=x對稱，若設點A的坐標為（m，2m），則點C的坐標為（2m，m），結合題意易證四邊形BHCO′是正方形，從而可得∠ABC=45°，由AB為O′直徑可得∠ACB=90°，由此可得△ABC是等腰直角三角形；

（2）由下圖，連接DO′，并延長交BC于點F，由已知易得S1-S2=S△BCD-S△ABC， S△ABC是定值，BC是定值，從而可得當DF最長，即當DF⊥BC時，S1-S2的值最大，用含m的代數式表達出S△BCD和S△ABC的面積，結合S1-S2的最大值為1列出方程，解方程求得m的值即可得到點A的坐標，從而可得k的值.

詳解：

（1）如下圖，連接O′C，過點C作CH⊥x軸于點H，由O′和兩坐標軸相切可知O′和反比例函數的圖象都關于直線y=x對稱，

∴若設點A的坐標為（m，2m），則點C的坐標為（2m，m），

∴BO′=CH=m，BO′∥CH，

∴四邊形BHCO′是平行四邊形，

∵BH=CH，∠BHC=90°，

∴四邊形BHCO′是正方形．

∴∠ABC=45°，

∵AB為O′直徑，

∴∠ACB=90°，

∴△ACB是等腰直角三角形；

（2）由下圖，連接DO′，并延長交BC于點F，

∵由圖可得S1-S2=S△BCD-S△ABC， S△ABC是定值，BC是定值，

∴當DF最長，即當DF⊥BC時，S1-S2的值最大，

∵△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，AB=2m，且DF⊥BC，

∴BC=AC=，DF=DO′+O′F=，

又∵S1-S2=S△BCD-S△ABC=1，

∴，

化簡得：，

∵點A（m，2m）在反比例函數函數的圖象上，

∴k=2m2=.

故答案為：（1）等腰直角；（2）.