Question

在平面直角坐標系中，現將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2），點C（-1，0），如圖所示：拋物線y=ax²+ax-2經過點B．
（1）求點B的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意，過點B作BD⊥x軸，垂足為D；根據角的互余的關系，易得B到x、y軸的距離，即B的坐標；
（2）根據拋物線過B點的坐標，可得a的值，進而可得其解析式；
（3）首先假設存在，分A、C是直角頂點兩種情況討論，根據全等三角形的性質，可得答案．

解答：解：（1）過點B作BD⊥x軸，垂足為D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，（1分）
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
∴△BCD≌△CAO，（2分）
∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）
∴點B的坐標為（-3，1）；（4分）

（2）拋物線y=ax²+ax-2經過點B（-3，1），
則得到1=9a-3a-2，（5分）
解得a=

1

2

，
所以拋物線的解析式為y=

1

2

x²+

1

2

x-2；（7分）

（3）假設存在點P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：
①若以點C為直角頂點；
則延長BC至點P₁，使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形△ACP₁，（8分）
過點P₁作P₁M⊥x軸，
∵CP₁=BC，∠MCP₁=∠BCD，∠P₁MC=∠BDC=90°，
∴△MP₁C≌△DBC．（10分）
∴CM=CD=2，P₁M=BD=1，可求得點P₁（1，-1）；（11分）
②若以點A為直角頂點；
則過點A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，得到等腰直角三角形△ACP₂，（12分）
過點P₂作P₂N⊥y軸，同理可證△AP₂N≌△CAO，（13分）
∴NP₂=OA=2，AN=OC=1，可求得點P₂（2，1），（14分）
③以A為直角頂點的等腰Rt△ACP的頂點P有兩種情況．即過點A作直線L⊥AC，在直線L上截取AP=AC時，點P可能在y軸右側，即現在解答情況②的點P₂；
點P也可能在y軸左側，即還有第③種情況的點P₃．因此，然后過P₃作P₃G⊥y軸于G，同理：△AGP3≌△CAO，
∴GP₃=OA=2，AG=OC=1，
∴P₃為（-2，3）；
經檢驗，點P₁（1，-1）與點P₂（2，1）都在拋物線y=

1

2

x²+

1

2

x-2上，點P₃（-2，3）不在拋物線上．（16分）

點評：本題考查學生將二次函數的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題的能力，綜合性強，能力要求極高．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．