Question

【題目】如圖，已知AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE與CD相交于點O．

（1）問題探究：線段OB，OC有何數量關系，并說明理由；

（2）問題拓展：分別連接OA，BC，試判斷直線OA，BC的位置關系，并說明理由；

（3）問題延伸：將題目條件中的“CD⊥AB于D，BE⊥AC于E”換成“D、E分別為AB，AC邊上的中點”，（1）（2）中的結論還成立嗎？請直接寫出結論，不必說明理由．

Answer 1

【答案】（1）OB=OC，理由見解析；（2） AO⊥BC，理由見解析；（3） （1）（2）中的結論還成立，理由見解析．

【解析】

（1）根據垂直定義求出∠ADC=∠AEB=90°，根據AAS推出△ADC≌△AEB，根據全等得出AD=AE，∠B=∠C，得出BD=CE，根據AAS推出△BDO≌△CEO即可得出結論；

（2）延長AO交BC于M，根據SAS推出△OBA≌△OCA，根據全等得出∠BAO=∠CAO，根據等腰三角形的性質推出即可；

（3）求出AD=AE，BD=CE，根據SAS推出△ADC≌△AEB，根據全等三角形的性質得出∠DBO=∠ECO，根據AAS推出△BDO≌△CEO，根據全等三角形的性質得出OB=OC，根據SAS推出△OBA≌△OCA，推出∠BAO=∠CAO，根據等腰三角形的性質得出即可．

（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC=∠AEB=90°，

在△ADC和△AEB中，

∵，

∴△ADC≌△AEB（AAS），∴AD=AE，∠B=∠C．

∵AB=AC，∴BD=CE，

在△BDO和△CEO中，

∵，

∴△BDO≌△CEO（AAS），∴OB=OC；

（2）AO⊥BC．理由如下：

延長AO交BC于M．

在△OBA和△OCA中，

∵，

∴△OBA≌△OCA（SAS），

∴∠BAO=∠CAO．

∵AB=AC，∴AO⊥BC；

（3）（1）（2）中的結論還成立．理由如下：

∵D、E分別為AB，AC邊上的中點，AC=AB，∴AD=AE，BD=CE，

在△ADC和△AEB中，

∵，∴△ADC≌△AEB（SAS），∴∠DBO=∠ECO，

在△BDO和△CEO中，

∵，∴△BDO≌△CEO（AAS），∴OB=OC，

在△OBA和△OCA中，

∵，∴△OBA≌△OCA（SAS），∴∠BAO=∠CAO．

∵AB=AC，∴AO⊥BC．