Question

【題目】如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．

（1）求證：OE=OF；

（2）當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．

（3）當點O運動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，（2）當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．證明見解析，（3）當點O在邊AC上運動到AC中點時，若∠ACB=90°，四邊形AECF為正方形．證明見解析．

【解析】

（1）根據平行線的性質以及角平分線的性質得出∠1=∠2，∠3=∠4，進而得出答案；

（2）根據AO=CO，EO=FO可得四邊形AECF平行四邊形，再證明∠ECF=90°利用矩形的判定得出即可；

（3）當點O在邊AC上運動到AC中點時，若∠ACB=90°，四邊形AECF為正方形，首先證明為矩形，再證明AC⊥EF根據對角線互相垂直的矩形是正方形可得結論．

（1）證明：∵MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F，

∴∠2=∠5，∠4=∠6，

∵MN∥BC，

∴∠1=∠5，∠3=∠6，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴EO=CO，FO=CO，

∴OE=OF；

（2）當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．

證明：如圖，當O為AC的中點時，AO=CO，

∵EO=FO，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

分別平分

∠ECF=90°，

∴平行四邊形AECF是矩形．

（3）當點O在邊AC上運動到AC中點時，若∠ACB=90°，四邊形AECF為正方形．

證明：如圖，由（2）可得點O在邊AC上運動到AC中點時平行四邊形AECF是矩形，

∵∠ACB=90°，

∴∠2=45°，

∵平行四邊形AECF是矩形，

∴EO=CO，

∴∠1=∠2=45°，

∴∠MOC=90°，

∴AC⊥EF，

∴四邊形AECF是正方形．