Question

【題目】如圖，點E、G分別是正方形ABCD的邊CD、BC上的點，連接AE、AG分別交對角線BD于點P、Q．若∠EAG=45°，BQ=4，PD=3，則正方形ABCD的邊長為（ ）
A.6
B.7
C.7
D.5

Answer 1

【答案】A
【解析】解：如圖，延長CB到F，使BF=DE，連接AF，在AF截取AH=AP，連接HQ，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠4=∠5=45°，∠BAD=∠ADE=∠ABF=90°，
在Rt△ABF和Rt△ADE中，

∴Rt△ABF≌Rt△ADE（SAS），
∴∠1=∠2，
∴∠GAF=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°=∠EAG，
在△PAQ和△HAQ中，

∴△PAQ≌△HAQ（SAS），
∴PQ=HQ，
在△DAP和△BAH中，
，
∴△DAP≌△BAH（SAS），
∴∠6=∠4=45°，DP=BH=3，
∴∠QBH=∠6+∠5=∠4+∠5=90°
∴BH2+BQ2=32+42=HQ2=PQ2 ，
∴PQ=HQ=5，
∴BD=3+5+4=12，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB= BD=6 ，
故選A．
【考點精析】掌握正方形的性質是解答本題的根本，需要知道正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．