Question

已知：⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，⊙O₁的切線AC交⊙O₂于點C．直線EF過點B交⊙O₁于點E，交⊙O₂于點F．
（1）若直線EF交弦AC于點K時（如圖1）．求證：AE∥CF；
（2）若直線EF交弦AC的延長線于點時（如圖2）．求證：DA•DF=DC•DE；
（3）若直線EF交弦AC的反向延長線于點（在圖3自作），試判斷（1）、（2）中的結論是否成立并證明你的正確判斷．

Answer 1

分析：（1）連接AB．根據弦切角定理和圓周角定理的推論，可以證明∠E=∠1=∠F，即可證明結論；
（2）根據弦切角定理、圓內接四邊形的性質，證明平行線，再根據相似三角形的判定和性質求解；
（3）正確畫出圖形后，顯然只需構造弦切角所夾的弧所對的圓周角，再結合圓周角定理的推論，即可證明平行，再根據相似三角形的判定和性質，即可證明．

解答：（1）證明：連接AB．

∵AC是⊙O₁的切線，
∴∠E=∠1，
又∵∠F=∠1．
∴∠E=∠F．
∴AE∥CF．

（2）證明：連接AB．
∵AC是⊙O₁的切線，
∴∠E=∠1，
又∵A、B、F、C在⊙O₂上，
∴∠2=∠1．
∴∠E=∠2，
又∠D=∠D，
∴△ADE∽△CDF．
∴

DA

DC

=

DE

DF

，
∴DA•DF=DC•DE．

（3）解：（1）（2）中的結論都成立．
證明：如圖3．
∵∠C=∠B=∠DAE，
∴AE∥CF．
又∠D=∠D，
∴△ADE∽△CDF．
∴

DA

DC

=

DE

DF

，
∴DA•DF=DC•DE．

點評：連接相交弦是相交兩圓中常見的輔助線．綜合運用了弦切角定理、圓周角定理的推論、圓內接四邊形的性質以及相似三角形的性質和判定．