Question

已知：⊙O₁與⊙O₂相交于點A、B，AC切⊙O₂于點A，交⊙O₁于點C．直線EF過點B，交⊙O₁于點E，交⊙O₂于點F．
（1）設直線EF交線段AC于點D（如圖1）．
①若ED=12，DB=25，BF=11，求DA和DC的長；
②求證：AD•DE=CD•DF；
（2）當直線EF繞點B旋轉交線段AC的延長線于點D時（如圖2），試問AD•DE=CD•DF是否仍然成立？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）①有ED，BD，BF的長，根據切割線定理，可求出AD的長，然后根據相交弦定理可求出CD的長；②根據切割線定理得出的AD²=DB•BF以及相交弦定理得出的AD•CD=DE•BD，兩式子相除即可得出所求的結論．
（2）解法與（1）中的②完全相同．

解答：解：（1）①∵AC切⊙O₂于A，
∴AD²=DB•DF=25×36．
∴AD=30．
又由AD•CD=DE•BD得CD=10，
∴AD=30，CD=10．
②由AD²=DB•DF和AD•CD=DE•BD，
相除可得

AD

CD

=

DF

DE

，故AD•DE=CD•DF．

（2）成立，
證明：∵AD切⊙O₂于A，
∴AD²=DB•DF…①
又由DA•CD=DE•DB …②
①÷②得：

AD

CD

=

DF

DE

，因此AD•DE=CD•DF．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質的應用以及切割線定理和相交弦定理．