Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜邊AB邊上的高CD與角平分線AE交于點F，經過垂足D的直線分別交直線CA，BC于點M，N．

（1）若AC=3，BC=4，AB=5，求CD的長；

（2）當∠AMN=32°，∠B=38°時，求∠MDB的度數；

（3）當∠AMN=∠BDN時，寫出圖中所有與∠CDN相等的角，并選擇其中一組進行證明．

Answer 1

【答案】（1）CD；（2）∠MDB=160°；（3）與∠CDN相等的角有∠AFD，∠CFE，∠AEC，∠MNC；證明見解析．

【解析】

（1）根據三角形面積公式即可得到結論；

（2）根據三角形的內角和定理求出∠MNC，進而得出∠MNB，再利用三角形外角的性質即可得到結論；

（3）首先根據角平分線的定義和平行線的判定和性質證明AE∥MN，然后結合同角的余角相等可證明所有結論．

解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴S△ABCACBC3×4=6．

∵CD是斜邊AB上是高，

∴S△ABCABCD5×CD=6，

∴CD；

（2）∵∠ACB=90°，∠AMN=32°，

∴∠MNC=180°﹣∠ACB﹣∠AMN=58°，

∴∠MNB=180°﹣∠MNC=122°，

∴∠MDB=∠MNB+∠B=122°+38°=160°；

（3）與∠CDN相等的角有∠AFD，∠CFE，∠AEC，∠MNC；

理由：∵∠AMN=∠BDN，∠BDN=∠ADM，

∴∠AMN=∠ADM，

∴∠CAB=∠AMN+∠ADM=2∠AMN，

∵AE是∠CAB的角平分線，

∴∠CAB=2∠CAE，

∴∠AMN=∠CAE，

∴AE∥MN，

∴∠CDN=∠AFD=∠CFE，

∵∠ACB=90°，

∴∠AMN+∠MNC=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠BDN+∠CDN=90°，

∵∠AMN=∠BDN，

∴∠CDN=∠MNC，

∵AE∥MN，

∴∠AEC=∠MNC，

∴∠CDN=∠AEC．