Question

【題目】如圖，CE是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，過點D作⊙O的切線，交CE延長線于點A，連接DE，過點O作OB∥ED，交AD的延長線于點B，連接BC．

（1）求證：直線BC是⊙O的切線；

（2）若AE=2，tan∠DEO=，求AO的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3．

【解析】

試題分析：（1）連接OD，由DE∥BO，得到∠1=∠4，∠2=∠3，通過證明△DOB≌△COB，得到∠OCB=∠ODB，問題得證；

（2）根據三角函數tan∠DEO=tan∠2=，設OC=r，BC=r，得到BD=BC=r，由切割線定理得到AD=2，再根據平行線分線段成比例得到比例式即可求得結果．

解：（1）連接OD，

∵DE∥BO，

∴∠1=∠4，∠2=∠3，

∵OD=OE，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠2，

在△DOB與△COB中，

，

∴△DOB≌△COB，

∴∠OCB=∠ODB，

∵BD切⊙O于點D，

∴∠ODB=90°，

∴∠OCB=90°，

∴AC⊥BC，

∴直線BC是⊙O的切線；

（2）∵∠DEO=∠2，

∴tan∠DEO=tan∠2=，

設OC=r，BC=r，

由（1）證得△DOB≌△COB，

∴BD=BC=r，

由切割線定理得：AD2=AEAC=2（2+r），

∴AD=2，

∵DE∥BO，

∴，

∴，

∴r=1，

∴AO=3．