Question

【題目】如圖，等邊三角形ABC中，點D、E、F、分別為邊AB，AC，BC的中點，M為直線BC動點，△DMN為等邊三角形

（1）如圖1，當(dāng)點M在點B左側(cè)時，請你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
（2）如圖2，當(dāng)點M在BC上時，其它條件不變，（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請利用圖2證明；若不成立請說明理由；
（3）若點M在點C右側(cè)時，請你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷（1）的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請直接寫出結(jié)論，若不成立請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：EN與MF相等，

證明：連接DE、DF，

∵△ABC和△DMN為等邊三角形，

∴DM=DN，∠MDN=60°，

∵點D、E、F、分別為邊AB，AC，BC的中點，

∴△DEF是等邊三角形，

∴∠MDF=∠NDE，

在△DMF和△DNE中，

，

∴△DMF≌△DNE，

∴EN=MF；

（2）

解：成立，

證明：連結(jié)DE，DF，EF．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC．

∵D，E，F(xiàn)是三邊的中點，

∴DE，DF，EF為三角形的中位線．

∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．

又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，

∴∠MDF=∠NDE．

在△DMF和△DNE中，

，

∴△DMF≌△DNE，

∴MF=NE；

（3）

解：畫出圖形如圖③所示：

MF與EN相等的結(jié)論仍然成立．

由（2）得，△DMF≌△DNE，

∴MF=NE．

【解析】（1）連接DE、DF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠MDF=∠NDE，證明△DMF≌△DNE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；（2）與（1）的方法相同；（3）根據(jù)題意畫出圖形，證明△DMF≌△DNE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明．
【考點精析】利用全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知全等三角形的對應(yīng)邊相等; 全等三角形的對應(yīng)角相等；等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．