Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）、B（0，3），C（1，0）．

（1）求拋物線及直線AB的函數(shù)關(guān)系式；

（2）有兩動(dòng)點(diǎn)D、E同時(shí)從O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的相同的速度分別沿線段OA、OB向A、B做勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)D作PD⊥OA分別交拋物線和直線AB于P、Q，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜3）．

①求線段PQ的長(zhǎng)度的最大值；

②連接PE，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形DOEP是正方形；

③連接DE，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的t值，使PE=DE？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；y=x+3；（2）①當(dāng)t=1時(shí)，PQ的長(zhǎng)度有最大值，最大值為4；②當(dāng)t為時(shí)，四邊形DOEP是正方形；③存在．當(dāng)t=時(shí)，PE=DE

【解析】試題分析：（1）已知了拋物線上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法即可求出拋物線和直線的解析式；（2）①用t表示出線段PQ的長(zhǎng)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；②OE=OD=PD時(shí)，四邊形四邊形DOEP是正方形，由此列出方程求解即可；③存作EH⊥PD， 可得PD=2OE，由此列出方程解得t值即可.

試題解析：

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣1），

把B（0，3）代入得a3（﹣1）=3，解得a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x+3）（x﹣1），

即y=﹣x2﹣2x+3；

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

把A（﹣3，0），B（0，3）代入得，解得，

∴直線AB的解析式為y=x+3；

（2）①∵D（﹣t，0），PD⊥x軸，

∴P（﹣t，﹣t2+2t+3），Q(-t，-t+3)

∴PQ=﹣t2+2t+3-（-t+3）=﹣t2+3t，

∴當(dāng)t=時(shí)，PQ的長(zhǎng)度有最大值，最大值為；

②OE=OD=t，

∵PD∥OE，

∴PD=OE時(shí)，四邊形DOEP為平行四邊形，

而OE=OD，∠DOE=90°，

∴此時(shí)四邊形DOEP是正方形

即﹣t2+2t+3=t，解得t1=，t2= （舍去），

∴當(dāng)t=為時(shí)，四邊形DOEP是正方形；

③存在．

作EH⊥PD，如圖，

∵DE=PE，

∴PH=DH，

∴PD=2OE，

即﹣t2+2t+3=2t，解得t1=，t2=﹣（舍去），

∴當(dāng)t=時(shí)，PE=DE．