Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx﹣與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0）．繞點A旋轉的直線l：y＝kx+b1交拋物線于另一點D，交y軸于點C．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）當點D在第二象限且滿足CD＝5AC時，求直線l的解析式；

（3）在（2）的條件下，點E為直線l下方拋物線上的一點，直接寫出△ACE面積的最大值；

（4）如圖2，在拋物線的對稱軸上有一點P，其縱坐標為4，點Q在拋物線上，當直線l與y軸的交點C位于y軸負半軸時，是否存在以點A，D，P，Q為頂點的平行四邊形？若存在，請直接寫出點D的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣；（2）y＝﹣x+1；（3）當x＝﹣2時，最大值為；（4）存在，點D的橫坐標為﹣3或或﹣．

【解析】

（1）設二次函數的表達式為：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，即可求解；

（2）OC∥DF，則 即可求解；

（3）由S△ACE=S△AME﹣S△CME即可求解；

（4）分當AP為平行四邊形的一條邊、對角線兩種情況，分別求解即可．

（1）設二次函數的表達式為：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，

即： 解得：

故函數的表達式為： ①；

（2）過點D作DF⊥x軸交于點F，過點E作y軸的平行線交直線AD于點M，

∵OC∥DF，∴OF＝5OA＝5，

故點D的坐標為（﹣5，6），

將點A、D的坐標代入一次函數表達式：y＝mx+n得：，解得：

即直線AD的表達式為：y＝﹣x+1，

（3）設點E坐標為 則點M坐標為

則

∵故S△ACE有最大值，

當x＝﹣2時，最大值為；

（4）存在，理由：

①當AP為平行四邊形的一條邊時，如下圖，

設點D的坐標為

將點A向左平移2個單位、向上平移4個單位到達點P的位置，

同樣把點D左平移2個單位、向上平移4個單位到達點Q的位置，

則點Q的坐標為

將點Q的坐標代入①式并解得：

②當AP為平行四邊形的對角線時，如下圖，

設點Q坐標為點D的坐標為（m，n），

AP中點的坐標為（0，2），該點也是DQ的中點，

則： 即：

將點D坐標代入①式并解得：

故點D的橫坐標為：或或．