Question

【題目】如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點O為AD上一動點（4＜OA＜8），以O為圓心，OA的長為半徑的圓交邊CD于點M，連接OM，過點M作⊙O的切線交邊BC于N．

（1）求證：△ODM∽△MCN；
（2）設DM=x，求OA的長（用含x的代數式表示）；
（3）在點O的運動過程中，設△CMN的周長為P，試用含x的代數式表示P，你能發現怎樣的結論？

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵MN切⊙O于點M，

∴∠OMN=90°；

∵∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°；

∴∠OMD=∠MNC；

又∵∠D=∠C=90°；

∴△ODM∽△MCN

（2）解：在Rt△ODM中，DM=x，設OA=OM=R；

∴OD=AD﹣OA=8﹣R，

由勾股定理得：（8﹣R）2+x2=R2，

∴64﹣16R+R2+x2=R2，

∴

（3）解法一：∵CM=CD﹣DM=8﹣x，

又∵ ，

且有△ODM∽△MCN，

∴ ，

∴代入得到 ；

同理 ，

∴代入得到 ；

∴△CMN的周長為P= =（8﹣x）+（x+8）=16．

發現：在點O的運動過程中，△CMN的周長P始終為16，是一個定值．

解法二：在Rt△ODM中， ，

設△ODM的周長P′= ；

而△MCN∽△ODM，且相似比 ；

∵ ，

∴△MCN的周長為P= ．

發現：在點O的運動過程中，△CMN的周長P始終為16，是一個定值．

【解析】（1）由“兩角法”易證相似；（2）由勾股定理構建方程（8﹣R）2+x2=R2，解方程可表示出OA；（3）△CMN的周長為P= C M + C N + M N，分別用x的代數式表示CM、CN、MN，相加得出是定值16.
【考點精析】認真審題，首先需要了解相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)．