Question

【題目】已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A（4，3），頂點為B，對稱軸是直線x＝2．

（1）求拋物線的函數表達式和頂點B的坐標；

（2）如圖1，拋物線與y軸交于點C，連接AC，過A作AD⊥x軸于點D，E是線段AC上的動點（點E不與A，C兩點重合）；

（i）若直線BE將四邊形ACOD分成面積比為1：3的兩部分，求點E的坐標；

（ii）如圖2，連接DE，作矩形DEFG，在點E的運動過程中，是否存在點G落在y軸上的同時點F恰好落在拋物線上？若存在，求出此時AE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3，頂點B的坐標為（2，4）；（2）（i）點E的坐標為（，3）或（，3）；（ii）存在；當點G落在y軸上的同時點F恰好落在拋物線上，此時AE的長為．

【解析】

（1）由題意得出，解得，得出拋物線的函數表達式為：y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，即可得出頂點B的坐標為（2，4）；

（2）（i）求出C（0，3），設點E的坐標為（m，3），求出直線BE的函數表達式為：y＝x+，則點M的坐標為（4m﹣6，0），由題意得出OC＝3，AC＝4，OM＝4m﹣6，CE＝m，則S矩形ACOD＝12，S梯形ECOM＝，分兩種情況求出m的值即可；

（ii）過點F作FN⊥AC于N，則NF∥CG，設點F的坐標為：（a，﹣a2+a+3），則NF＝3﹣（﹣a2+a+3）＝a2﹣a，NC＝﹣a，證△EFN≌△DGO（ASA），得出NE＝OD＝AC＝4，則AE＝NC＝﹣a，證△ENF∽△DAE，得出，求出a＝﹣或0，當a＝0時，點E與點A重合，舍去，得出AE＝NC＝﹣a＝，即可得出結論．

（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A（4，3），對稱軸是直線x＝2，

∴

解得

∴拋物線的函數表達式為：y＝﹣x2+x+3，

∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，

∴頂點B的坐標為（2，4）；

（2）（i）∵y＝﹣x2+x+3，

∴x＝0時，y＝3，

則C點的坐標為（0，3），

∵A（4，3），

∴AC∥OD，

∵AD⊥x，

∴四邊形ACOD是矩形，

設點E的坐標為（m，3），直線BE的函數表達式為：y＝kx+n，直線BE交x軸于點M，如圖1所示：

則

解得： ，

∴直線BE的函數表達式為：y＝x+，

令：y＝x+＝0，則x＝4m﹣6，

∴點M的坐標為（4m﹣6，0），

∵直線BE將四邊形ACOD分成面積比為1：3的兩部分，

∴點M在線段OD上，點M不與點O重合，

∵C（0，3），A（4，3），M（4m﹣6，0），E（m，3），

∴OC＝3，AC＝4，OM＝4m﹣6，CE＝m，

∴S矩形ACOD＝OCAC＝3×4＝12，

S梯形ECOM＝（OM+EC）OC＝（4m﹣6+m）×3＝，

分兩種情況：

①＝，即＝，

解得：m＝，

∴點E的坐標為：（，3）；

②＝，即＝，

解得：m＝，

∴點E的坐標為：（，3）；

綜上所述，點E的坐標為：（，3）或（，3）；

（ii）存在點G落在y軸上的同時點F恰好落在拋物線上；理由如下：

由題意得：滿足條件的矩形DEFG在直線AC的下方，

過點F作FN⊥AC于N，則NF∥CG，如圖2所示：

設點F的坐標為：（a，﹣a2+a+3），

則NF＝3﹣（﹣a2+a+3）＝a2﹣a，NC＝﹣a，

∵四邊形DEFG與四邊形ACOD都是矩形，

∴∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，EF＝DG，EF∥DG，AC∥OD，

∴∠NEF＝∠ODG，∠EMC＝∠DGO，

∵NF∥CG，

∴∠EMC＝∠EFN，

∴∠EFN＝∠DGO，

在△EFN和△DGO中，∠NEF=∠ODG，EF=DG,∠EFN=∠DGO，

∴△EFN≌△DGO（ASA），

∴NE＝OD＝AC＝4，

∴AC﹣CE＝NE﹣CE，即AE＝NC＝﹣a，

∵∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，

∴∠NEF+∠EFN＝90°，∠NEF+∠DEA＝90°，

∴∠EFN＝∠DEA，

∴△ENF∽△DAE，/span>

∴，即＝

整理得：a2+a＝0，

解得：a＝﹣或0，

當a＝0時，點E與點A重合，

∴a＝0舍去，

∴AE＝NC＝﹣a＝，

∴當點G落在y軸上的同時點F恰好落在拋物線上，此時AE的長為．