Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=5，∠DAB=60°，點E是AD邊的中點．點M是線段AB上的一個動點（不與點A重合），延長ME交射線CD于點N，連接MD、AN．

（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形；

（2）填空：①當AM的值為　　時，四邊形AMDN是矩形；

②當AM的值為　　時，四邊形AMDN是菱形。

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）① ②5

【解析】

（1）四邊形ABCD是菱形，則ND∥AM，故∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME.由于E是AD邊的中點，則DE=AE.由全等三角形的判定定理，得出△NDE≌△MAE，故ND=MA.

根據平行四邊形的判定方法，即可得出四邊形AMDN是平行四邊形.

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴ND∥AM，

∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，

又∵點E是AD邊的中點，

∴DE=AE，

∴△NDE≌△MAE，

∴ND=MA，

∴四邊形AMDN是平行四邊形；

（2）解：① 若四邊形AMDN是矩形，則∠DMA=90°，

在△AMD中，∠DMA=90°，∠DAB=60°，則∠ADM=30°.

在Rt△AMD中，∠AMD=30°，故AM=AD=.

②若四邊形AMDN是菱形，則ADMN,

在Rt△MEA中，∠DAB=60°，則∠EMA=30°，

故AE=AM，即AM=2AE，

由于E是AD的中點，則AE=，

所以AM=2×=5.