Question

【題目】在中，，是邊上不同于、的一動點，過作，垂足為，連接．

試說明不論點在邊上何處時，都有與相似；

若，，當為何值時，面積最大，并求出最大值；

在中，兩條直角邊、滿足關系式，是否存在一個的值，使既與全等，也與全等．

Answer 1

【答案】見解析；當時，的面積最大，最大值是；存在．時，既與全等，也與全等．

【解析】

(1)無論P點如何運動，∠B為公共角，且∠PQB=∠ACB=90°，故兩三角形恒相似；

(2)設，由可用含x的表達式分別表示PQ和AQ，再利用面積公式列出的表達式進行求解即可；

(3)由可得，由可得，在RT△ABC中運用勾股定理即可求解.

不論點在邊上何處時，都有

，

∴；

設，由勾股定理，得

∵由知，，

∴，即

∴，

∴當時，的面積最大，最大值是；

存在．

∵

∴

又∵

∴

∴

在中，由勾股定理得

∴

∴時，既與全等，也與全等．