Question

【題目】已知，平面直角坐標系中，A在x軸正半軸，B（0，1），∠OAB＝30°．

（1）如圖1，已知AB＝2．點C在y軸的正半軸上，當△ABC為等腰三角形時，直接寫出點C的坐標為　 　；

（2）如圖2，以AB為邊作等邊△ABE，AD⊥AB交OA的垂直平分線于D，求證：BD＝OE；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接DE交AB于F，求的值．

Answer 1

【答案】（1）（0，3）；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由條件得出BC=AB=2， OC=OB+BC=3，從而可得到點C的坐標為（0，3）；
（2）連接OD，證明△OAD是等邊三角形，得出AO=AD，再證明△ABD≌△AEO（SAS），即可得出結論；
（3）作EH⊥AB于H，通過HL證明Rt△AEH≌Rt△BAO，得到EH=AO=AD，再通過AAS證明△HFE≌△AFD，得出EF=DF，即可求出的值．

（1）解：∵B（0，1），

∴OB＝1，

∵AB＝2，點C在y軸的正半軸上，△ABC為等腰三角形，

∴BC＝AB＝2，

∴OC＝OB+BC＝3，

∴點C的坐標為（0，3），

故答案為：（0，3）；

（2）證明：連接OD，如圖2所示：

∵△ABE是等邊三角形，

∴AB＝AE，∠BAE＝60°，

∵∠OAB＝30°，

∴∠OAE＝30°+60°＝90°，

∵AD⊥AB，

∴∠DAB＝90°＝∠OAE，∠OAD＝90°﹣30°＝60°，

∵MN是OA的垂直平分線，

∴OD＝AD，

∴△OAD是等邊三角形，

∴AO＝AD，

在△ABD和△AEO中，，

∴△ABD≌△AEO（SAS），

∴BD＝OE；

（3）解：作EH⊥AB于H，如圖3所示：

∵△ABE是等邊三角形，EH⊥AB，

∴AH＝AB，

∵∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，

∴OB＝AB，

∴AH＝OB，

在Rt△AEH和Rt△BAO中， ，

∴△AEH≌△BAO（HL），

∴EH＝AO＝AD，

在△HFE和△AFD中，，

∴△HFE≌△AFD（AAS），

∴EF＝DF，

∴DE＝2DF，

∴＝．