Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，CD是⊙O的切線，C為切點，AD⊥CD于點D．求證：
（1）∠AOC=2∠ACD；
（2）AC²=AB•AD．

Answer 1

證明：（1）∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD=90°，
即∠ACD+∠ACO=90°．①（2分）
∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，
∴∠AOC=180°-2∠ACO，即∠AOC+2∠ACO=180°，
兩邊除以2得：

1

2

∠AOC+∠ACO=90°．②（4分）
由①，②，得：∠ACD-

1

2

∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；（5分）

（2）如圖，連接BC．
∵AB是直徑，∴∠ACB=90°．（6分）
在Rt△ACD與Rt△ABC中，
∵∠AOC=2∠B，
∴∠B=∠ACD，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，（8分）
∴

AC

AB

=

AD

AC

，即AC²=AB•AD．（9分）