Question

閱讀下面材料：
對于平面圖形A，如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點到圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這個圓所覆蓋．
對于平面圖形A，如果存在兩個或兩個以上的圓，使圖形A上的任意一點到其中某個圓的圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這些圓所覆蓋．
例如：圖甲中的三角形被一個圓所覆蓋，圖乙中的四邊形被兩個圓所覆蓋．

回答下列問題：
（1）邊長為1cm的正方形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是

 

cm；
（2）邊長為1cm的等邊三角形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是

 

cm；
（3）長為2cm，寬為1cm的矩形被兩個半徑都為r的圓所覆蓋，r的最小值是

 

cm．

Answer 1

分析：（1）邊長為1的正方形被一個半徑為r的圓所覆蓋，則圓的最小直徑等于正方形的對角線，這樣可以求出半徑的最小值．
（2）作出圖形，連接OB，并過點O作BC的垂線，得到直角三角形，在直角三角形中用三角函數求出半徑的最小值．
（3）長為2cm，寬為1cm的矩形被兩個等圓覆蓋，兩個圓內覆蓋的部分分別是兩個正方形，且這兩個正方形分別內接于兩圓時半徑最小，在直角三角形中求出最小的半徑．

解答：解：（1）因為正方形的邊長為1，所以對角線為

2

，最小圓的直徑為

2

，因此r的最小值是

2

2

．

（2）如圖：正三角形ABC的邊長為1，當△ABC內接于⊙O時，圓的半徑最小．
連接OB，過點O作OD⊥BC于點D，則在直角△BOD中，BD=

1

2

，∠OBD=30°，
cos30°=

BD

OB

，得：OB=

BD

cos30°

=

1 2

3 2

=

3

3

．
因此r的最小值是

3

3

．

（3）如圖：ABCD被⊙O和⊙M覆蓋，兩圓的公共弦為EF，
AB=1，AD=2，如上圖所示時，兩圓的半徑最小．
連接OA，OE，則△AOE是等腰直角三角形，AE=1，所以OA=

2

2

．
因此r的最小值是

2

2

．
故答案分別是：

2

2

，

3

3

，

2

2

．

點評：本題考查的是正多邊形和圓，（1）利用圓的內接正方形進行計算求出半徑的最小值．（2）利用圓的內接正三角形進行計算求出半徑的最小值．（3）把矩形分成兩個正方形，這兩個正方形分別被兩等圓覆蓋，當這兩個正方形分別是這兩個圓的內接正方形時半徑最小，利用直角三角形求出最小半徑．