Question

如圖,在矩形ABCD中,點O是邊AD上的中點,點E是邊BC上的一個動點,延長EO到F,使得OE=OF.

（1）當點E運動到什么位置時,四邊形AEDF是菱形？（直接寫出答案）
（2）若矩形ABCD的周長為20,四邊形AEDF的面積是否存在最大值？如果存在,請求出最大值;如果不存在,請說明理由．
（3）若AB=,BC=,當.滿足什么條件時,四邊形AEDF能成為一個矩形？（不必說明理由）

Answer 1

（1）當點E運動到BC的中點時,四邊形AEDF是菱形;
（2）存在.當時,四邊形AEDF的面積最大為25;
（3）當m≤n時,四邊形AEDF能成為一個矩形．

試題分析：（1）根據矩形的性質得出AB=CD,∠B=∠C=90°,求出四邊形是平行四邊形,根據勾股定理求出AE=DE,即可得出答案;
（2）求出S_{四邊形AEDF}=2S_△AED=S_矩形ABCD,設AB=x,則BC=10﹣x,四邊形AEDF的面積為y,求出y=x（10﹣x）,求出二次函數的最值即可;
（3）根據矩形能推出△BAE∽△CED,得出比例式,代入得出方程,求出方程的判別式,即可得出答案．
試題解析：（1）當點E運動到BC的中點時,四邊形AEDF是菱形,
理由是：∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠B=∠C=90°,
∵E為BC中點,
∴BE=CE,
由勾股定理得：AE=DE,
∵點O是邊AD上的中點,OE=OF,
∴四邊形AEDF是平行四邊形,
∴平行四邊形AEDF是菱形;
（2）存在.
∵點O是AD的中點,
∴AO="DO" ,
∵OE=OF,
∴四邊形AEDF是平行四邊形 ,
∴ ,
設AB=,則BC=,四邊形AEDF的面積為,



當時,四邊形AEDF的面積最大為25;
（3）當m≤n時,四邊形AEDF能成為一個矩形,
理由是：設BE=z,則CE=n﹣z,
當四邊形AEDF是矩形時,∠AED=90°,
∵∠B=∠C=90°,
∴∠BAE+∠BEA=90°,∠BEA+∠DEC=90°,
∴∠BAE=∠DEC,
∴△BAE∽△CED,
∴,
∴,
∴z²﹣nz+m²=0,
當判別式△=（﹣n）²﹣4m²≥0時,方程有根,即四邊形AEDF是矩形,
解得：m≤n,
∴當m≤n時,四邊形AEDF能成為一個矩形．